Liczby i działania
Podstawa wszystkiego: rodzaje liczb, kolejność wykonywania działań i cechy podzielności. Warto to opanować na pamięć — te zasady wracają w niemal każdym zadaniu na egzaminie.
Rodzaje liczb
Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3... (bez ułamków i liczb ujemnych). Liczby całkowite dodają do nich liczby ujemne (-1, -2...). Liczby wymierne to wszystkie liczby, które da się zapisać jako ułamek a/b (b≠0) — należą tu też ułamki dziesiętne skończone i okresowe. Liczby niewymierne (np. √2, π) nie dają się zapisać jako ułamek zwykły — ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Przykład: Czy liczba 0,(3) (czyli 0,3333...) jest wymierna?
Tak — mimo nieskończonego rozwinięcia jest okresowe, a każdy ułamek okresowy da się zapisać jako zwykły: 0,(3) = .
Kolejność wykonywania działań
Najpierw liczymy to, co jest w nawiasach, potem potęgi i pierwiastki, potem mnożenie i dzielenie (w kolejności od lewej do prawej), na końcu dodawanie i odejmowanie (też od lewej do prawej).
Przykład: Oblicz: 3 + 4 · 2² − (5 − 3)
Nawias: 5−3=2. Potęga: 2²=4. Mnożenie: 4·4=16. Zostaje 3+16−2 = 17.
Działania na liczbach ujemnych
Dodawanie liczby ujemnej to to samo, co odejmowanie: 5 + (−3) = 5 − 3 = 2. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Przy mnożeniu i dzieleniu: znaki takie same → wynik dodatni, znaki różne → wynik ujemny.
Przykład: Oblicz: (−12) : 4 + (−3) · (−2)
(−12):4 = −3 (różne znaki → ujemny). (−3)·(−2) = 6 (te same znaki → dodatni). Razem: −3 + 6 = 3.
Cechy podzielności
Przez 2: ostatnia cyfra parzysta. Przez 3: suma cyfr dzieli się przez 3. Przez 4: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Przez 5: ostatnia cyfra to 0 lub 5. Przez 9: suma cyfr dzieli się przez 9. Przez 10: ostatnia cyfra to 0.
Przykład: Czy liczba 4 587 dzieli się przez 3 i przez 9?
Suma cyfr: 4+5+8+7=24. 24 dzieli się przez 3 (24:3=8), więc 4587 dzieli się przez 3. 24 NIE dzieli się przez 9, więc 4587 nie dzieli się przez 9.